1 . 如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，分别为，的中点．
（I）求证：平面．
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
（III）能否在上找一点，使得平面?若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

2 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.

   

(1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.

3 . 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1)求证：；
(2)当，且时，求点P的坐标．

4 . 已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.

(1)求直线的一个方向向量；
(2)证明：平面.

5 . 如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面．

6 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：.

7 . 用向量法证明：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直.

8 . 如图，直三棱柱中，是棱上的点，

（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在边界及内部是否存在点使得面存在，说明位置，不存在，说明理由

9 . 如图，四棱锥中，，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小.