1 . 如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，棱AC，A₁C₁的中点分别为M，N．

(1)求证：B₁N⊥C₁M；
(2)求异面直线BN与C₁M所成角的余弦值；
(3)求平面A₁BM与平面ABC₁所成二面角的正弦值．

2 . 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为1的菱形，，.

（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.

3 . 已知圆台轴截面，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点A的的四等分点，经过、，三点的平面与弧交于点，且，，三点在平面的同侧．

（1）判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论﹔
（2）为上底圆周上的一个动点，当四棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．

4 . 如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．

5 . 正四棱锥中，，
点M，N分别在PA，BD上，且．
（Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；
（Ⅱ）求证：∥平面PBC；
（Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．