1 . 已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．

2 . 已知集合（），对于，，定义A与B的差为(，，…，)；A与B之间的距离为=++…+．
（1）若写出所有可能的A，B；
（2），证明：；
（3），证明：三个数中至少有一个是偶数．

3 . 已知椭圆Γ：的离心率为，左右焦点分别为F₁，F₂，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF₁F₂面积的最大值为4.

（1）求椭圆Γ的方程.
（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足，求证：AB＝2AD.

4 . 已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．

5 . 如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicab geometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．只是直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：
（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并作出大致图像；
（2）在出租车几何学中，到两点、“距离”相等的点的轨迹称为线段的“垂直平分线”，已知点，，；
①写出在线段的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；
②求证：三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为的“外心”），并求出的“外心”.

7 . 已知圆：和点，， ，.
(1)若点是圆上任意一点，求；
(2)过圆 上任意一点 与点的直线，交圆于另一点,连接，，求证：.

8 . 已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．
(1)证明：为定值；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)已知函数在处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）

9 . 已知集合．对于，，定义与之间的距离为．
（1）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（2）若集合满足：，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；
（3）设集合，中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明．