1 . 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点列，直线系，，若直线与直线交于点.
（1）求证：点在抛物线上，并求出该抛物线的方程；
（2）设，为（1）中抛物线上两个不同的点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线经过定点.

2 . 在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2，证明:直线l过定点.

3 . 设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值．

4 . 已知抛物线：过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，求证：.

5 . 抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，．

(1)证明：；
(2)求抛物线方程．

7 . 已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．

8 . 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A，B两点，___________.
①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.
在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.
（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）

9 . 动圆M与圆外切，且与直线相切．
(1)求动圆M圆心的轨迹的方程．
(2)已知斜率为－1的直线l交曲线于A，B两个不同的点，定点．求证：直线PA，PB与x轴总围成等腰三角形．

10 . 设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．