1 . 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.
(1)求C的标准方程；
(2)若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.

2 . 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．

3 . 已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.

4 . 设 分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆 短轴的一个顶点，已知 的面积为 .

(1)求椭圆的方程；
(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心
（i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ii）求点 到直线 的距离的最大值.

5 . 已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.

6 . 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.

7 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.