1 . 设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

2 . 已知椭圆，曲线，点是和的公共点，且两曲线有公共焦点F.
（1）求，的方程；
（2）若为上动点，过点Q作曲线的切线l交椭圆于M，N，求(O为坐标原点)的面积S的取值范围.

3 . 已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．

4 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.

5 . 如图，从椭圆()上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP，.其中F₂为椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程E；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D且OC⊥OD？若存在，写出该圆方程，并求CD的取值范围；若不存在，说明理由.

6 . 已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值；
（3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

7 . 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．

（1）若，求椭圆的离心率．
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．

8 . 已知F₁，F₂为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF₁⊥AF₂，，则椭圆C的方程为________．

9 . 已知椭圆经过点，离心率为，是直线上任一点，过点且与垂直的直线交椭圆于两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，经过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，其中椭圆长轴为，线段的长度为.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知过左焦点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积．