1 . 已知椭圆的离心率，为椭圆的上顶点，为坐标原点，点满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，证明：.

2 . 已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.

3 . 已知椭圆经过点，左焦点为F，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．

4 . 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，连接交轴正半轴于点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆于点，（不与重合），证明：直线的斜率为定值.

5 . 已知椭圆C：（）经过，，，，五个点中的三个．
(1)求椭圆C的方程．
(2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与圆O：相切，证明：为直角三角形．

6 . 已知离心率为的椭圆过点，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值．

7 . 已知椭圆C：的一个顶点为，且过点，、，分别为左、右焦点，过的动直线与椭圆C交于A、B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是A关于x轴的对称点，且满足直线F₂与BF₂的斜率之积为，求的面积.

8 . 已知椭圆：过三点，，中的两点，且短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上､下顶点分别为､点，是椭圆上异于､的任意一点，直线交直线于点，连接，，记，的斜率分别为，，证明：为定值.

9 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于下端点A的两点，且|AB|=|AC|，若BC的中点为G，求点G的轨迹方程.

10 . 如图，已知椭圆：经过点，、为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过右焦点的直线（不经过点）交椭圆于、两点，交直线：于点，若，求直线的斜率．