1 . 已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)证明直线MN过定点.

2 . 椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；
(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．

3 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

4 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

5 . 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

6 . 已知椭圆过点，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

7 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．

8 . 已知椭圆经过点，且焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．
①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
②求四边形面积的最大值．

9 . 已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．

10 . 如图，已知椭圆经过点，离心率．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；
(3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.