1 . 已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.
(1)证明：；
(2)求的最大值.

3 . 椭圆的右顶点，过椭圆右焦点的直线l与C交于点M，N，当l垂直于x轴时．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与y轴交于P点，直线与y轴交于Q点，点，求证：．

4 . 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

6 . 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点、、为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明四边形的面积为定值，并求出该定值.

7 . 已知椭圆：过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于A，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.

8 . 已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若点为椭圆上一动点，点与点的垂直平分线交轴于点，求的最小值.