1 . 已知椭圆E：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积．

2 . 已知椭圆经过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，是坐标原点，求的面积.

3 . 已知圆：过点，其长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，，为椭圆上不重合两点，且，的中点落在直线上，求面积的最大值．

5 . 已知椭圆过点，且椭圆的一个焦点在直线上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，设直线与椭圆相交于不同的两点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（提示：可设线段的中点为，判断成立时所得的取值是否满足题意.）

6 . 已知椭圆：经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值．

7 . 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过的直线（斜率不为）交椭圆于两点，的周长为，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当线段的中点在第二象限，且点的横坐标为时，求.

8 . 已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．

9 . 已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值

10 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．