1 . 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家,他于5世纪末提出了“幂势既同,则积不容异”的体积计算原理,即“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中,了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图).现有某火电厂的冷却塔设计图纸,其外形的双曲线方程为(),内部虚线为该双曲线的渐近线,则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________ .
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解题方法
2 . 用平面截圆锥面,可以截出椭圆、双曲线、抛物线,那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢?比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1,在一个圆锥中放入两个球,使得它们都与圆锥面相切,一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切,切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点,过点的母线与两个球分别相切于点,因此有,而是图中两个圆锥母线长的差,是一个定值,因此曲线是一个椭圆.如图2,两个对顶圆锥中,各有一个球,这两个球的半径相等且与圆锥面相切,已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为,球的半径为4,平面与圆锥的轴平行,且与这两个球相切于两点,记平面与圆锥侧面相交所得曲线为,则曲线的离心率为__________ .
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解题方法
3 . 某苗圃有两个入口A、B,,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物,现有150株树苗放在P处,已知,,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立直角坐标系.计划将树苗种在以,,,为顶点的矩形内呈15列10行等距排列.
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短?
(2)能否在苗圃内确定一条界线,使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近,而另一侧的树苗沿PB运输较近?若能,求出这条界线;若不能,说明理由.
(3)有多少株树苗沿PB运输较近?
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短?
(2)能否在苗圃内确定一条界线,使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近,而另一侧的树苗沿PB运输较近?若能,求出这条界线;若不能,说明理由.
(3)有多少株树苗沿PB运输较近?
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名校
解题方法
4 . 随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左,右焦点,过C右支上一点作直线l交x轴于,交y轴于点N,则( )
A.C的渐近线方程为 |
B.过点作,垂足为H,则 |
C.点N的坐标为 |
D.四边形面积的最小值为 |
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2023-11-05更新
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690次组卷
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5卷引用:重庆市第十一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
重庆市第十一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题广西壮族自治区桂林市灵川县广西师大附中2023-2024学年高二上学期段考(期中)数学试题(已下线)第三章 圆锥曲线的方程【单元提升卷】-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高二下学期入学质量监测数学试题江西省贵溪市2024届高三下学期高考冲刺压轴(三)(5月)数学试卷
5 . 若函数的关系式由方程确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________ .
①函数是减函数;
②函数是奇函数;
③函数的值域为
④方程无实数根:
⑤函数的图像是轴对称图形.
①函数是减函数;
②函数是奇函数;
③函数的值域为
④方程无实数根:
⑤函数的图像是轴对称图形.
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2023-04-09更新
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485次组卷
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2卷引用:陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测(Ⅱ)理科数学试题
6 . 过双曲线(常数)上任意一点A作轴,交y轴于点E,作轴,交x轴于点F,得到矩形AEOF,则它的面积S=k,k是与点A位置无关的常数,试把这个结论推广到一般双曲线,并证明你的推广.
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7 . 已知双曲线的左、右焦点分别为,且,A,P,B为双曲线上不同的三点,且A,B两点关于原点对称,直线与斜率的乘积为1,则( )
A. |
B.双曲线C的离心率为 |
C.直线倾斜角的取值范围为 |
D.若,则三角形的面积为2 |
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2022-09-06更新
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2117次组卷
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9卷引用:河北省秦皇岛市部分学校2023届高三上学期开学摸底数学试题
河北省秦皇岛市部分学校2023届高三上学期开学摸底数学试题(已下线)专题39 双曲线及其性质-4河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省德州市临邑县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省菏泽市曹县第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题(已下线)突破3.2 双曲线(课时训练)-【新教材优创】突破满分数学之2022-2023学年高二数学重难点突破+课时训练 (人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)海南省华东师范大学第二附属中学乐东黄流中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量监测(期末)数学试题3.2.2 双曲线的几何性质(三)(同步练习基础版)江苏省张家港市暨阳高级中学2023-2024学年高二上学期12月自主学习能力测试数学试卷
真题
名校
8 . 如图,B地在A地的正东方向处,C地在B地的北偏东方向处,河流的沿岸(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远.现要在曲线上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A.万元 | B.万元 | C.万元 | D.万元 |
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2022-11-09更新
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797次组卷
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7卷引用:2004 年普通高等学校招生考试数学(文)试题(福建卷)
2004 年普通高等学校招生考试数学(文)试题(福建卷)2004 年普通高等学校招生考试数学(理)试题(福建卷)2017届上海市上海中学高考模拟试卷(4)数学试题(已下线)考点11 圆锥曲线的定义及其应用(椭圆,双曲线,抛物线) 2024届高考数学考点总动员辽宁省大连市名校2023-2024学年高二上学期11月阶段性模拟测试数学试题(已下线)3.2.1 双曲线及其标准方程【第三课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)专题24 双曲线及其标准方程7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
9 . 外形是双曲面的冷却塔具有众多优点,如自然通风和散热效果好,结构强度和抗变形能力强等,其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔,它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成,其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米,上口圆面的直径为40米,高为90米,下口到最小直径圆面的距离为80米.
(1)求最小直径圆面的面积;
(2)双曲面也是直纹曲面,即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成,该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线(如图3),对于任意一条直母线,均存在一个轴截面和它平行,此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线,且直母线与其中一条平行.广州电视塔(昵称“小蛮腰”,如图4)就是根据这一理论设计的,极大地方便了建造、节约了成本(主钢梁在直母线上,钢筋不需要弯曲).若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁,求主钢梁的长度(精确到0.01米,参考数据:).
(1)求最小直径圆面的面积;
(2)双曲面也是直纹曲面,即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成,该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线(如图3),对于任意一条直母线,均存在一个轴截面和它平行,此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线,且直母线与其中一条平行.广州电视塔(昵称“小蛮腰”,如图4)就是根据这一理论设计的,极大地方便了建造、节约了成本(主钢梁在直母线上,钢筋不需要弯曲).若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁,求主钢梁的长度(精确到0.01米,参考数据:).
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2021-01-29更新
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840次组卷
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6卷引用:江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末数学试题江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一(实验班)下学期期中数学试题江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二上学期第二次质量调研数学试题(已下线)专题3.9 直线与双曲线的位置关系-重难点题型精讲-2021-2022学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)浙江省金华第一中学2022-2023学年高二上学期12月阶段性测试数学试题上海市松江二中2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
10 . 2020年9月下旬,中国海军为应对台湾海峡的局势,派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习.某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如下图A,B,C,且OA=OB=OC=3,假想敌舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为C处舰艇保持静默.
(1)建立适当的坐标系,并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对假想敌舰攻击后,C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果,则无人机飞行的距离最少是多少?
(1)建立适当的坐标系,并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对假想敌舰攻击后,C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果,则无人机飞行的距离最少是多少?
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2020-11-19更新
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558次组卷
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6卷引用:江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试数学试题
江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试数学试题江苏省南京市扬子二中2020-2021学年高二10月月考数学试题(已下线)第三章 圆锥曲线与方程A卷(基础过关)-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(苏教版2019选择性必修第一册)辽宁省六校2021-2022学年高二上学期期中数学试题上海市行知中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(已下线)期中押题预测卷(考试范围:第1-3章)(拔高卷)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(苏教版2019选择性必修第一册)