1 . 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.
   
(1)当时，求双曲线的标准方程；
(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

3 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点；
步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线.
(1)以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程；
(2)设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切.
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围.

5 . 数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）

A．

B．

C．

D．

6 . 年是“十四五”开局之年，也是中国共产党成立周年，上海市政府与国家发展和改革委员会、科技部等主办世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，聚集上千位来自国内外的“最强大脑”，展开近百场高端论坛头脑风暴 . 某高校学生受大会展示项目启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图两个信号源相距米，是的中点，过的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻，测得机器鼠与点的距离为米.

(1)以为原点，直线为轴建立如图直角坐标系，求时刻机器鼠所在的坐标.
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域内运动，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？

7 . 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（       ）

A．

B．

C．

D．