1 . 已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于点．当的倾斜角为45°时，．
（1）求抛物线的方程；
（2），当绕点旋转时，抛物线上总存在点，使得四边形为平行四边形（点在直线的两侧）．
（i）求的值；
（ii）记的面积为，求的最小值．

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，(其中)是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上除顶点之外的任意一点，在点处的切线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，设，，的斜率分别为，，，求证：，，成等比数列.

3 . 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则.
（1）求抛物线C的方程；
（2）分别过点A，B作抛物线C的切线、，若，分别交x轴于点M，N，求四边形面积的最小值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：上一点到准线的距离与到原点的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点.

5 . 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上A，B两点满足，线段的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，求的最小值．

6 . 如图，已知抛物线的焦点是，准线是.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、，求证：.

7 . 已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.
（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；
（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.

8 . 斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与拋物线交于，两点．
（1）设点在第一象限，过作拋物线的准线的垂线，为垂足，且，求点的坐标；
（2）过且与垂直的直线与圆：交于，两点，若与面积之和为，求的值．

9 . 已知抛物线：（）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

（1）求p的值；
（2）设（）为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求的取值范围.

10 . 已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线分别交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.