1 . 设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F₁（﹣2，0），左准线l₁与x轴交于点N（﹣3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（﹣2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

2 . 一圆形纸片的半径为10cm，圆心为，为圆内一定点，cm，为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使与重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕，设与交于点，如图
（1）求点的轨迹方程；
（2）求证：直线为点轨迹的切线.

3 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
（3）若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值

4 . 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆
心的轨迹为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．

5 . 已知定圆，动圆过点且与圆A相切，记动圆圆
心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．
(3)由(2)你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明)．

6 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．

7 . 如图，，是离心率为的椭圆的左、右顶点，，是该椭圆的左、右焦点，，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点，两点，且线段恰好过椭圆的左焦点.当时，点恰为线段的中点.

（1）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明.

8 . 设A,B是椭圆上的两点，为坐标原点，向量，向量．
(1)设,证明:点M在椭圆上;
(2)若点P、Q为椭圆上两点，且∥试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请证明理由．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.

10 . 如图，已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．设直线与椭圆相交于两点，点关于轴对称点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，求直线的方程；
（3）试问：当变化时，直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．