1 . 已知，分别是椭圆的左顶点与左焦点，，是上关于原点对称的两点，，．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线交于，两点，，是直线上关于轴对称的两点，证明：直线，的交点在一条定直线上．

2 . 设椭圆：的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.

3 . 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.

4 . 已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.
       
(1)若点的坐标为，证明：直线；
(2)求线段的长.

5 . 已知椭圆经过点，焦距为是椭圆上不在坐标轴上的两点，且关于坐标原点对称，设点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与的斜率分别为，求证：为定值．

6 . 已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
(1)若是线段AB的中点，求直线l的方程；
(2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．

7 . 在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点（在轴上方），
且.设点在轴上的射影为， 的面积为1（如图1）.

(1)求椭圆的方程；
(2)设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点（在轴上方），点为椭圆上异于一点，
直线交于点，交于点，如图2，求证：为定值.

9 . 已知椭圆经过两点.
(1)求的方程；
(2)设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：.

10 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.