1 . 已知椭圆：（）的右焦点为，离心率，过原点的直线（不与坐标重合）与交于，两点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过作轴于，连接并延长交椭圆于，求证：以为直径的圆过点.

2 . 已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.

3 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过定点的直线交椭圆于不同的两点，连接并延长交椭圆于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

4 . 已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴，，为椭圆的上，下顶点，直线交椭圆于，（点在点左侧，且与不重合）.

（1）求证：直线，的倾斜角互补；
（2）记的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

6 . 已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.

7 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；
（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；
（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．

8 . 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求证：．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为，求证：直线与椭圆相切．

10 . 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），与轴交于点；
（1）当且时，求点的坐标；
（2）当时，设，求证：为定值，并求出该值.