1 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为1，是直线上一点，过点且与垂直的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为，求证：成等差数列.

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆E：（）的长轴长为4，左准线l的方程为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆E的左焦点，且与椭圆E交于A，B两点.
①若，求直线的方程；
②过A作左准线l的垂线，垂足为，点，求证：，B，G三点共线.

3 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为，且椭圆经过点，与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线和直线的斜率之积为，求证：直线过定点；
（3）若为椭圆上一点，且，求三角形的面积.

4 . 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.

5 . 如图，已知焦点在x轴上的椭圆有一个内含圆x²＋y²=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且 (O为原点).

（1）求b的值；
（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：，并求|AB|的取值范围.

6 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为A，且椭圆E经过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点，且直线AC和直线AD的斜率之积为.
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线l过定点.

7 . 如图，已知椭圆，直线，直线与椭圆交于不同的两点，点和点关于轴对称，直线与轴交于点．

（1）若点是椭圆的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求证：为定值．

8 . 如图，圆与轴切于点，与轴正半轴交于两点.点在点的下方，且.

（1）求圆的方程；
（2）过点作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.

9 . 已知椭圆：的左、右焦点为，，上、下顶点为，，四边形是面积为2的正方形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与椭圆交于，两点，求证：.

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，其焦点到相应准线的距离为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，.
①求的值；
②延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值.