1 . 已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）．已知PF₁F₂的面积的最大值为，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与A，B重合）．设ABQ的外心为G，求证为定值．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，且，，，四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．

3 . 已知、分别为椭圆的右焦点和左顶点，，分别在椭圆上运动，点，分别在直线，上.
（1）若，求的值；
（2）记，若直线过点，求证：.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆，A，B是椭圆上两点，且直线AB的斜率为.

（1）求证：OA与OB的斜率之积为定值；
（2）设直线AB交圆于C，D两点，且，求的面积.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆与的离心率相等．椭圆的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于A，B两点，射线与椭圆交于点C，椭圆的右顶点为D．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）若，求证：四边形是平行四边形．

6 . 已知椭圆：的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，求证：点，到直线的距离之积为定值.

7 . 椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.
（1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.
（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.

8 . 如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上下顶点分别为，，是椭圆上异于､的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点.
①求证：；
②若的面积为，求的值；

9 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆经过，且右焦点坐标为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，P为椭圆上任意一点（异于A，B两点），直线AC与直线BP相交于点M，直线BC与直线AP相交于点N，求证：.

10 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．