1 . 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆上一点，且的面积等于.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若两条切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值.

2 . 已知椭圆左顶点为，离心率为，且过点.

（1）求的方程；
（2）过抛物线上一点P的切线交于两点，线段，的中点分别为.求证：对任意，都存在这样的点P，使得所在直线平行于轴.

3 . 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，且椭圆上一点P，满足．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，若椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形（其中O为坐标原点，点P在第一象限），求直线与的斜率之积：
（3）记圆为椭圆C的“关联圆”．过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线的横、纵截距分别为m、n，求证：为定值．

4 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为，又已知直线和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）若直线不经过，且与椭圆相交于，，直线，的斜率分别为，.求证：是定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线，，其中直线交椭圆于，两点，直线交直线于点，求证：直线平分线段.

6 . 如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．

7 . 已知椭圆：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）试求椭圆的方程；
（2）设圆：是椭圆长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆，过圆上的任一点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：.

8 . 设椭圆，直线，O为坐标原点.
（1）设点在C上，且C的焦距为2，求C的方程；
（2）设l的一个方向向量为，且l与（1）中的椭圆C交于A.B两点，求证： 为常数；
（3）设直线l与椭圆C交于A.B两点，是否存在常数k，使得的值也为常数？若存在，求出k的表达式及的值；若不存在，请说明理由.

9 . (本题满分14分)
已知椭圆的右焦点为F,右准线为l，且直线与相交于A点.
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
（Ⅱ）当变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若时,求椭圆离心率e的范围.

10 . 已知椭圆：，过椭圆上一点作椭圆的切线，为坐标原点．
（1）当直线与坐标轴不垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
（2）设直线与椭圆：相交于，两点，求的取值范围．