1 . 已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于两点,求弦的长.
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2 . 在直角坐标系中,过椭圆的右焦点的直线与截得的线段长的取值范围是.
(1)求的方程;
(2)已知曲线的切线被坐标轴所截的线段长为定值.
(i)求与截得的线段长;
(ii)求与截得的线段长的取值范围.
(1)求的方程;
(2)已知曲线的切线被坐标轴所截的线段长为定值.
(i)求与截得的线段长;
(ii)求与截得的线段长的取值范围.
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3 . 若直线和椭圆交于两点,则线段的长为______ .
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4 . 已知椭圆C:的一个焦点坐标为,离心率,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B,线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为,求线段AB的长.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B,线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为,求线段AB的长.
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5 . 定义:若椭圆上的两个点满足,则称为该椭圆的一个“共轭点对”.
如图,为椭圆的“共轭点对”,已知,且点在直线上,直线过原点.
(1)求直线的方程;
(2)已知是椭圆上的两点,为坐标原点,且.
(i)求证:线段被直线平分;
(ii)若点在第二象限,直线与相交于点,点为的中点,求面积的最大值.
如图,为椭圆的“共轭点对”,已知,且点在直线上,直线过原点.
(1)求直线的方程;
(2)已知是椭圆上的两点,为坐标原点,且.
(i)求证:线段被直线平分;
(ii)若点在第二象限,直线与相交于点,点为的中点,求面积的最大值.
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6 . 已知直线:交椭圆:于A,B两点,为椭圆上一点.
(1)证明;
(2)求的最大值.
(1)证明;
(2)求的最大值.
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7 . 阅读材料:(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线:,则称点和直线:是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换;以替换,以替换,即可得到对应的极线方程.特别地,对于椭圆,与点对应的极线方程为;对于双曲线,与点对应的极线方程为;对于抛物线,与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质、定理:①当在圆锥曲线上时,其极线是曲线在点处的切线;②当在外时,其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线(即切点弦所在直线);③当在内时,其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题:已知椭圆:.
(1)点是直线:上的一个动点,过点向椭圆引两条切线,切点分别为,,是否存在定点恒在直线上,若存在,当时,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
(2)点在圆上,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,求面积的最大值.
(1)点是直线:上的一个动点,过点向椭圆引两条切线,切点分别为,,是否存在定点恒在直线上,若存在,当时,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
(2)点在圆上,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,求面积的最大值.
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8 . 已知椭圆的离心率为,且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线,其中一条切线与椭圆相交于点,与圆相切于点,两条切线与轴分别交于两点.(1)求椭圆的方程;
(2)是否为定值,若是,请求出的值;若不是,请说明理由:
(3)若椭圆上点,求面积的取值范围.
(2)是否为定值,若是,请求出的值;若不是,请说明理由:
(3)若椭圆上点,求面积的取值范围.
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9 . 日日新学习频道刘老师通过学习了解到:法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心,(a为椭圆的长半轴长,b为椭圆的短半轴长)为半径的圆,这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C:.(1)求椭圆C的蒙日圆的方程;
(2)若斜率为1的直线与椭圆C相切,且与椭圆C的蒙日圆相交于M,N两点,求的面积(O为坐标原点);
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点,过点P作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,求面积的最小值.
(2)若斜率为1的直线与椭圆C相切,且与椭圆C的蒙日圆相交于M,N两点,求的面积(O为坐标原点);
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点,过点P作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,求面积的最小值.
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名校
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10 . 如图,四边形为坐标原点是矩形,且,,点,点,分别是,的等分点,直线和直线的交点为(1)试证明点在同一个椭圆C上,求出该椭圆C的方程;
(2)已知点P是圆上任意一点,过点P作椭圆C的两条切线,切点分别是A,B,求面积的取值范围.
注:椭圆上任意一点处的切线方程是:
(2)已知点P是圆上任意一点,过点P作椭圆C的两条切线,切点分别是A,B,求面积的取值范围.
注:椭圆上任意一点处的切线方程是:
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