1 . 是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为_________.

2 . 在中，，，则面积的最大值为_______.

3 . 已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆标准方程；
(2)若为原点，且满足，求的面积.

4 . 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．
(1)求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；
(2)求面积的最小值．

5 . 已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．

6 . 已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．

7 . 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且经过点（1，）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂的面积；
(3)过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k₁，k₂，若|AT|·|TC|=|BT|·|TD|，试问k₁+k₂是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

8 . 直线与椭圆相交于、两点,该椭圆上点,使得的面积等于3．这样的点共有(        )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．　
（1）求点的轨迹方程；
（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．