1 . 已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值.

2 . 已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为___________.

3 . 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)为线段的中点，求点的轨迹方程；
(3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．

6 . 已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

   

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
(3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

7 . 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为上、下顶点，，且以为直径的圆过，．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M，N是C上位于x轴上方的两点，，与的交点为P．
①求四边形的面积S的最大值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

8 . 阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：.
(1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值.