1 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

2 . 已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程．

3 . 已知椭圆C：的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．
(1)求椭圆C的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为G．判断直线是否与y轴交于定点？请说明理由．

4 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求证：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.

6 . 已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，射线分别交椭圆C于点A，B，求证：为定值．

7 . 已知椭圆经过点，且右焦点为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问以为直径的圆是否过轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由．

8 . 已知椭圆：经过直线：与坐标轴的两个交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，求证：为线段的中点.

9 . 已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.

10 . 已知椭圆，焦距为2，为椭圆的左焦点，若椭圆上的点到的距离的最大值是最小值的3倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线过右焦点与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.