1 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点．

2 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.

3 . 已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点．求证：．

4 . 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若M，N是椭圆E上异于点P的两点，且以线段为直径的圆恒过点P，判断直线是否过定点？如果是，求此定点坐标.如果不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为．
(1)求的方程；
(2)直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上.
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）．

8 . 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.

9 . 已知椭圆C：的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由．

10 . 已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上.
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为.若三点共线，求证：直线经过定点.