1 . 已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.

2 . 已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”．

(1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程．
(2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）．
①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值．

3 . 已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点．设圆心P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若，过点的直线l与曲线Γ交于M，N两点，连接分别交y轴于P、Q．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，当过坐标原点时，.
(1)求椭圆的方程;
(2)线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之积为定值. 若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右焦点，过点作一条直线（直线与轴不重合）交椭圆于两个不同点，连接，则__________.

6 . 设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点.证明：点在定直线上.

8 . 已知圆，动圆P与圆M内切，且经过定点.设圆心P的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知过点的直线与l曲线交于M，N两点，连接，分别交y轴于P、Q.试探究线段的中点是否为定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由

9 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．

10 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线上任取一点，设长轴上的两个顶点为，连接分别交椭圆于两点，证明：直线的交点在直线上.