1 . 如图，点A是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为，且满足轴，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若点M是直线上的动点，过点M分别做椭圆C的两条切线，切点分别为S，T，求证：直线ST过定点．

2 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

3 . 已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．

4 . 已知动点与点的距离和到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线．曲线交轴于两点，为直线上的动点，直线分别与曲线交于两点．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)证明：直线过定点．

5 . 已知，是椭圆上的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于两点（不与点B重合），且以为直径的圆经过点B，试证明：直线过定点，并求出这个定点坐标.

6 . 已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求证：为定值；
(2)若，当时，求实数范围．

7 . 从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．
(1)求的方程，并说明是何种曲线：
(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．

8 . 已知椭圆：，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．

9 . 设椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，直线与椭圆相切．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线过，与椭圆交于两点，延长，分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证为定值．

10 . 已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．