1 . 已知双曲线的上焦点为，下顶点为，渐近线方程是，过点的直线交双曲线上支于两点，分别交直线于两点，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)求证：四点共圆；
(3)求（2）中的圆的半径的取值范围.

2 . 已知双曲线的离心率为2，动直线与的左､右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左､右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值

3 . 如图，已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．

(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．

4 . 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．

5 . 设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点．
(1)若，求的离心率的取值范围；
(2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围．

6 . 已知点是双曲线上任意一点.
(1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)已知点，求的最小值.