1 . 已知抛物线：，过点作直线．
(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．
(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．

2 . 已知点为抛物线上一点，F为的焦点，A、B是C上两个动点．
(1)直线经过点F时，求的最小值．
(2)若直线，的倾斜角互补，与C的另一个交点为A，求直线的斜率．

3 . 动点到定点的距离比它到直线的距离小，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两个不同的点，过点，分别作曲线的切线，且二者相交干点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求的面积的最小值．

4 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.

5 . 已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．
①求证：．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，

6 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）已知直线交抛物线于点，且，证明：直线过定点.

7 . 世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”-- 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，其边缘距离底部的落差约为米，是由我国天文学家南仁东先生于年提出构想，历时年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内.

（1）求的方程;
（2）一束平行于轴的脉冲信号射到上的点，反射信号经过的焦点后，再由上点反射出平行脉冲信号，试确定点的坐标，使得从入射点到反射点的路程最短.

8 . 已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求直线l的斜率.

9 . 已知过点的直线与抛物线交于点．
（1）若为弦的中点，求直线的方程；
（2）若为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，求的最小值．

10 . 如图，抛物线的准线为，取过焦点且平行于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且．
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点作直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值．