1 . 已知抛物线：，过点垂直于轴的垂线与抛物线交于，点满足

（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点，记与的面积分别为，求的值

2 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的准线方程为：.

（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于，两点，过点作直线的垂线，交于点，求证：，，三点共线.

3 . 已知抛物线，若圆与抛物线相交于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相切，斜率为的直线与抛物线相交于两点，直线交于点，求证：.

4 . 已知圆，设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）延长交直线于点，延长交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点.求证：.

5 . 已知抛物线，与圆，直线与抛物线相交于，两点.
（1）求证：.
（2）若直线与圆相切，求的面积.

6 . 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C相切于点P，过点P作抛物线C的割线PQ，割线PQ与抛物线C的另一交点为Q，A为PQ的中点.过A作y轴的垂线与y轴交于点H，与直线l相交于点N，M为线段AN的中点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：点M在抛物线C上.

7 . 已知抛物线：，其焦点到准线的距离等于1，设动点，过作的两条切线，（，为切点）.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点；
（Ⅲ）设圆：，若圆与直线相切，且切点正好是线段的中点，求的值.

8 . 对于直线与抛物线，若与有且只有一个公共点且与的对称轴不平行（或重合），则称与相切，直线叫做抛物线的切线．

（1）已知是抛物线上一点，求证：过点的的切线的斜率；
（2）已知为轴下方一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：成等差数列；
（3）如图所示，、是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点的的切线分别是，直线交于点，且与轴分别交于点．设为方程的两个实根，表示实数中较大的值．求证：“点在线段上”的充要条件是“”．

9 . 如图,曲线上的点与轴正半轴上的点及原点构成一系列正（记为）,记.

(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：当时..

10 . 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.
（1）求的值及圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.