1 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.

3 . 如果直线y＝kx＋1与椭圆恒有公共点，那么实数m的取值范围为______．

4 . 已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.

5 . 如图椭圆的离心率为，且四个顶点所构成的四边形面积为.椭圆的左､右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求实数的值；
（3）若与长度之和为80，求实数的值.

6 . 如图，已知椭圆：经过点，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．

7 . 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

8 . 已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆内一点P（0，t），斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k₁，k₂，若对任意k，存在实数λ，使得，求实数λ的取值范围．

9 . 已知椭圆经过点 ，，点是椭圆的下顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于 ，两点，已知，求直线 的斜率.

10 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.