1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

2 . 已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线交椭圆于A，B两点，为椭圆C的左焦点，若，求直线的方程.

3 . 已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，求直线OP的斜率与直线OQ的斜率的乘积．

4 . 已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)求椭圆C的方程：
(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.

5 . 已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为4，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．

8 . 如图，已知椭圆：经过点，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．

9 . 已知直线与椭圆交于、两点，且在直线 的上方（如图所示）.

（1）求常数的取值范围；
（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小．

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.