1 . 已知椭圆的两焦点分别为的离心率为上有三点，直线分别过的周长为8．
(1)求的方程；
(2)①若，求的面积；
②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点．

2 . 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作椭圆的切线，交直线于点.
①求证：；
②求三角形面积的最小值.

3 . 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是椭圆上一点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于，．
①求证：，两点的纵坐标之积为定值；
②求面积的最小值．

6 . 已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．

7 . 在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点作直线交曲线E于两点，且点P位于x轴上方，记直线的斜率分别为．
①证明：为定值；
②设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．

8 . 已知O为坐标原点，椭圆C：，点D，M，N为C上的动点，O，M，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，().
（1）证明：；
（2）当直线DM过点时，求的最小值；
（3）若，证明：为定值.

9 . 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.
①证明：为定值；
②设是直线上的动点，直线、分别另交椭圆于、两点，求的最小值.

10 . 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求面积的最大值．