1 . 已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点.
(1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程.
(2)求面积的最小值.

2 . 已知椭圆C：左、右焦点分别、，长轴长为，且椭圆C的离心率与双曲线的离心率乘积为1，P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若且，求的最大值.

3 . 椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程，并求出最大面积.

4 . 已知点为椭圆的左焦点，在C上．
(1)求C的方程；
(2)记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，，且．
①当时，求四边形的面积；
②求四边形的面积最大时点M的坐标．

5 . 已知椭圆：（）过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若矩形各边均与椭圆相切，
①证明：矩形的对角线长为定值；
②求矩形周长的最大值.

6 . 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标.

8 . （1）已知A，B为椭圆长轴上的两个端点，Q为椭圆上任意一点，证明：当点Q为椭圆短轴的端点时，最大；
（2）设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足，求m的取值范围.

10 . 已知椭圆，直线.求椭圆上的点到直线的最小距离．