1 . 已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3.

(1)求双曲线的方程;
(2)已知点为双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线右支于A，B两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点P，O为坐标原点，直线OP交双曲线于M，N两点.设直线的斜率分别为，且.
（i）证明:双曲线在点处的切线经过点；
（ii）记，求的值.

2 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．

3 . 已知双曲线（，）的左右顶点为，，双曲线上一动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.

   

(1)求双曲线的方程；
(2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，.
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标.

4 . 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.

5 . 已知双曲线的离心率为，点是上一点.
(1)求的方程；
(2)设是直线上的动点，分别是的左､右顶点，且直线分别与的右支交于两点（均异于点），证明：直线过定点.

6 . 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.

7 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若直线 (不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为，求证: 直线过定点.

10 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点，，均在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与直线的纵截距互为相反数，求证：直线过定点.