名校
1 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和直线族
的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线上
两点作曲线的切线
，其交点为
.已知点
，若
三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆
是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点
不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线
上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
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2024-03-19更新
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1739次组卷
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5卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第6题 设点or设线解决阿基米德三角形问题（压轴大题）（已下线）专题8 考前押题大猜想36-40（已下线）压轴题02圆锥曲线压轴题17题型汇总-4
2 . 设抛物线
的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知
，
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线
分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段
为直径的圆经过x轴上的两个定点．
的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线
分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．
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2021-09-15更新
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2940次组卷
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14卷引用：湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题
湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题湖南师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期12月第一次大练习数学试题江西省抚州市黎川县第一中学2021届高三上学期联考数学（理）试题优生联赛2020-2021学年高三上学期理科数学全国1卷区试题（已下线）一轮复习大题专练69—抛物线3（定点问题2）—2022届高三数学一轮复习（已下线）专题02 《圆锥曲线与方程》中的典型题（2）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册） 安徽省合肥市第八中学2021-2022学年高二上学期段考(三)理科数学试题（已下线）考点44 圆锥曲线中的综合性问题-备战2022年高考数学典型试题解读与变式新疆喀什地区岳普湖县2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题重庆市天星桥中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题2022届高三普通高等学校招生全国统一考试 数学预测卷（七）2022届高三下学期“最后一卷”系列联考（新高考Ⅰ卷）数学试题新疆乌鲁木齐八一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题
3 . 已知抛物线
的焦点为
，抛物线的准线交
轴于
，
，
，
为抛物线上三点（其中在第一象限），
，
．
（1）求
的值；
（2）已知
为坐标原点，李同学从条件①
出发，而刘同学从条件②
出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线
过同一个定点”，试问如何设计实数
的值．
的焦点为，抛物线的准线交轴于，，，为抛物线上三点（其中在第一象限），，．（1）求
的值；（2）已知
为坐标原点，李同学从条件①出发，而刘同学从条件②出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线过同一个定点”，试问如何设计实数的值．
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解题方法
4 . 设抛物线
的焦点为，直线
与抛物线交于
两点.
（1）若过点，且
，求的斜率；
（2）若
，且的斜率为
，当
时，求在
轴上的截距的取值范围（用表示），并证明
的平分线始终与坐标轴平行.
的焦点为，直线与抛物线交于两点.（1）若
过点，且，求的斜率；（2）若
，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与坐标轴平行.
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2020-05-09更新
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431次组卷
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6卷引用：2020届湖南省五岳高三下学期5月联考文科数学试题
5 . 已知直线
：
与抛物线切于点，直线
：
过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为
.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为
，那么是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.（1）求抛物线
的方程及点的坐标；（2）设直线
与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2020-04-08更新
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506次组卷
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2卷引用：2018届湖南省怀化市高三第一次模拟数学(理)试题
名校
解题方法
6 . 从抛物线
上任意一点向轴作垂线段垂足为
，点
是线段
上的一点，且满足
.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线
与轨迹交于
两点，点
为轨迹上异于的任意一点，直线
分别与直线
交于
两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.
上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.（1）求点
的轨迹的方程；（2）设直线
与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.
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2020-03-16更新
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1109次组卷
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9卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（文）试题
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（文）试题2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷（一）文科数学试题湖南省湘南教研联盟2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟数学（文）试题2020届福建省福州第一中学高三上学期期末数学（文）试题（已下线）专题02 求轨迹方程问题（第五篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖福建省莆田第一中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学（文）试题
2018高三·江苏·专题练习
名校
7 . 如图，已知点F为抛物线C：
（
）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，
.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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2020-02-01更新
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1386次组卷
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14卷引用：湖南省岳阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次质量检测数学试题
湖南省岳阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次质量检测数学试题（已下线）2018届高三第一次全国大联考（江苏卷）-数学2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题内蒙古自治区赤峰市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2019-2020学年高二上学期期末数学试题广西崇左市2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试题2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题（已下线）基础套餐练01-【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练（已下线）3.3 抛物线（精讲）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教A版）江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）黄金卷03 【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（广东专用）（已下线）专题6.3 双曲线与抛物线的性质与应用-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）安徽省滁州市定远县复读学校2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题福建省晋江市磁灶中学2022届高三上学期阶段测试（一）数学试题
名校
8 . 已知动圆
过定点
，且与定直线
相切．
（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（2）过点
的任一条直线
与轨迹交于不同的两点
，试探究在
轴上是否存在定点
（异于点
），使得
？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
过定点，且与定直线相切．（1）求动圆圆心
的轨迹的方程；（2）过点
的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
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2019-01-07更新
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798次组卷
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10卷引用：【校级联考】湖南省三湘名校（五市十校）2019届高三下学期第一次联考数学（文）试题
【校级联考】湖南省三湘名校（五市十校）2019届高三下学期第一次联考数学（文）试题【区级联考】湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题【市级联考】广东省广州市2019届高三第一学期调研考试（一模）文科数学试题广东省梅州市兴宁市第一中学2019-2020学年高三上学期期末数学（文）试题陕西省渭南市韩城市2018-2019学年高三下学期3月调研考试数学(文)试题（已下线）专题9.10 高考解答题热点题型（二）定点、定值、探索性问题-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破（已下线）专题9.6 直线与圆锥曲线（精练）-2021年高考数学（文）一轮复习学与练（已下线）专题9.7 直线与圆锥曲线（精练）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题13 解析几何中的范围、最值和探索性问题 第一篇 热点、难点突破篇（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）山西省晋中市祁县中学2021届高三上学期12月月考数学（文）试题
真题
名校
9 . 在直角坐标系
中，曲线C：y=
与直线
交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
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2016-12-03更新
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20943次组卷
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36卷引用：湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二下学期入学考试数学(理)试题
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二下学期入学考试数学(理)试题2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）2015-2016学年贵州思南中学高二下学期期末理数学理试卷2016-2017学年河北武邑中学高二理周考10.9数学试卷河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理）试题3【全国百强校】河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理）试题【全国百强校】河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理）试题（已下线）实战演练8.1-2018年高考艺考步步高系列数学2017届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（文）试卷智能测评与辅导[理]-圆锥曲线的综合应用（已下线）专题9.7 抛物线（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题9.7 抛物线（练）【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题9.9 圆锥曲线的综合问题（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）卷03-备战2020年新高考数学自学检测黄金10卷-《2020年新高考政策解读与配套资源》（已下线）秒杀题型11 圆锥曲线中的定值与定点-2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学（理）试题（已下线）专题29 圆锥曲线的综合问题-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）痛点15 圆锥曲线中的综合问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）考点29 抛物线-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）3.3 抛物线（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教A版）（已下线）专题10 解析几何（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题10 解析几何（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）江西省南昌市第三中学2021届高三下学期第八次月考试数学（理）试题2017届高河北省衡水中学三下学期二调考试数学（文）试卷河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理）试题2河北省衡水中学2016-2017学年高二上学期四调考试数学（理）试题1（已下线）专题17 圆锥曲线常考题型05——圆锥曲线中的存在性问题与面积问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第39讲 斜率和积问题与定点定值问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练（已下线）专题47 盘点圆锥曲线中的几何证明问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题19 圆锥曲线解答题（已下线）专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点2 圆锥曲线中的探索性问题陕西省西安市唐南中学2020-2021学年高二上学期12月月考文科数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题6 调和线束 微点2 调和线束（二）（已下线）大招26 齐次化法（已下线）7.5 直线和圆锥曲线的综合问题（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题24 解析几何解答题（理科）-2
