4 . （1）求证：1＋2＋2²＋…＋2^5n－1(n∈N^*) 能被31整除；
（2）求S＝除以9的余数；
（3）根据下列要求的精确度，求1.02⁵的近似值．(精确到0.01)．

5 . 杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N^*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.

6 . 求证：（，，且）．

8 . 根据杨辉三角，我们可以得到很多与组合数有关的性质．例如，在下图中，

，
，
……
(1)根据你发现的规律，猜想：______，并证明你的结论；
(2)你还能发现有关组合数的哪些性质？

9 . 证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．

10 . 利用二项式定理证明：（，且）．