1 . 为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2018年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：

年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码	1	2	3	4	5
年借阅量（册）			36	92	142

（参考数据：）
(1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种模型作为年借阅量关于年份代码的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

2 . 乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”
(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；
(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．

3 . 某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A=“患有地方性疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，，该地人群中卫生习惯良好的概率为.
(1)求和，并解释所求结果大小关系的实际意义；
(2)为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值.
参考公式及数据：；；.

5 . 第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个.
(1)若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率.
(2)若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望.
(3)若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率.

6 . 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．

7 . 某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率；
(2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整）
附：若随机变量，则

8 . 自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．

9 . 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．

   

(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）
(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量，则的分布列为，．
．

10 . 树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检方案的摸球实验．在一个不透明的箱子中放入10个小球代表从一批产品中抽取出的样本（小球除颜色外均相同），其中有个红球（，），代表合格品，其余为黑球，代表不合格品，从箱中逐一摸出个小球，方案一为不放回摸取，方案二为放回后再摸下一个，规定：若摸出的个小球中有黑色球，则该批产品未通过抽检．
(1)若采用方案一，，，求该批产品未通过抽检的概率；
(2)（ⅰ）若，试比较方案一和方案二，哪个方案使得该批产品通过抽检的概率大？并判断通过抽检的概率能否大于？并说明理由．
（ⅱ）若，，现采用（ⅰ）中概率最大的方案，设在一次实验中抽得的红球为个，求的分布列及数学期望．