1 . 某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.
(1)试估算一个生产周期内的平均检修费用；
(2)求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.

3 . 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．

4 . 某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张奖卷只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖.
(1)随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；
(2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值．

5 . 袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．

6 . 在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．

(1)求的概率分布；
(2)求的数学期望（保留小数点后两位）．

参考数据：．

7 . 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求；
(3)若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）

9 . 一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为，且每次跳高相互独立.
(1)记甲在这次比赛中跳的次数为，求的概率分布和数学期望；
(2)已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.

10 . 我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．

时长
学生数	30	24	40	16	10

(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)以表中的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的时长，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长，则赠送家长慰问金200元；抽取的时长，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为，求的分布列及数学期望．