1 . 某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在至之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下：

长期区间
优质个数	81	81	84	88	84	83	83	70	66

(1)设每个长度区间的中点值为，优质个数为，求关于的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数．
(2)若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量为其中的优质个数，求的分布列与数学期望．
（参考公式和数据：）

2 . 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：
(1)从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；
(2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点.

3 . 为更好地促进学生数学学科素养的提升，某校数学组举办数学创新应用比赛.比赛规则为先进行“创新赛”，再进行“应用赛”，结果为“通过”和“不通过”，所有参赛选手均需参加两项比赛，两项至少通过一项则授予“素养之星”称号.已知甲同学通过“创新赛”的概率为α，若甲通过“创新赛”，则其通过“应用赛”的概率也为α；若其未通过“创新赛”，则通过“应用赛”的概率为.
(1)若，求甲同学获得“素养之星”称号的概率；
(2)记随机变量X表示甲同学参加数学创新应用比赛获得“通过”的个数，求X的分布列和期望.

4 . 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.
(1)设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；
(2)若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？

5 . 党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别，，，绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.

(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在的人数为，试求的分布列和数学期望.

6 . 某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．

7 . 近年来中国咖啡文化盛行，咖啡作为一种舶来品，在国内成了一种时尚，越来越多的企业开始扎堆咖啡赛道，今年以来先有中国邮政首家邮政咖啡在厦门落地，再有李宁跨界推出“宁咖啡”.
(1)A传媒公司拟从家老咖啡企业和家今年新注册的咖啡企业中随机选家进行访谈，记选到的今年新注册的咖啡企业数为，求的分布列与数学期望
(2)为了解一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体消费咖啡情况，A传媒公司通过本公司媒体进行调查，在参与调查的一、二线城市青年群体与三、四线城市青年群体中各取人，得到如下列联表的部分数据.

	一、二线城市青年	三、四线城市青年	合计
是咖啡消费者
不是咖啡消费者
合计

将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为一、二线城市青年与三、四线城市青年消费咖啡的意愿有差别
附：，.

8 . 某校为了庆祝二十大的胜利召开，决定举办“学党史·铭初心”党史知识竞赛.高三年级为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表年级参加学校比赛.已知甲､乙､丙3位同学通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，假设他们之间通过与否互不影响.
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)从甲､乙､丙3位同学中随机抽取一名，求他通过决赛的概率；
(3)设这3人中通过决赛的人数为，求的分布列及期望.

9 . 某公司为了增强员工的凝聚力，计划组织40名员工到某疗养院参加疗养活动，疗养院活动丰富多彩，其中包含羽毛球、卡拉OK、爬山、单车、乒乓球、篮球、桌球、游泳等活动．根据前期的问卷调查，得到下列列联表：

	喜欢打羽毛球	不喜欢打羽毛球	合计
男员工	8	2	10
女员工	8	22	30
合计	16	24	40

(1)根据小概率值的独立性检验，能否推断喜欢打羽毛球与性别有关？
(2)若从40名员工中按比例分层抽样选取8人，再从这8人中随机抽取3人参加文艺表演，记抽到男员工的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，

10 . 疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课形式回归到线下上课形式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有学生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为优秀．

(1)求该实验班数学考试成绩达到优秀的人数；
(2)从实验班所有学生的数学试卷中，按考试成绩是否优秀，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到优秀的试卷份数．求X的分布列和数学期望．