1 . 一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为.
(1)求袋子内小球的个数；
(2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望；
(3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率.

2 . 随着中国科技的进步，涌现了一批高科技企业，也相应产生了一批高科技产品，在城市，生产某高科技产品的本地企业有甲､乙两个，城市的高科技产品的企业市场占有率和指标的优秀率如下表：

	市场占有率	指标的优秀率
企业甲
企业乙
其它

(1)从城市的高科技产品的市场中随机选一件产品，求所选产品的指标为优秀的概率；
(2)从城市的高科技产品的市场中随机选一件产品，若已知所选产品的指标为优秀，求该产品是产自企业甲的概率；
(3)从城市的高科技产品的市场中依次取出6件指标为优秀的产品，若已知6件产品中恰有4件产品产自企业甲，记离散型随机变量表示这6件产品中产自企业乙的件数，求的分布列和数学期望.

3 . 已知甲工厂生产的某批次产品共有7件，其中2件是次品．现对这7件产品逐个随机检验，找出2件次品后即结束检验．每次检测费用为500元．
(1)求检测总费用恰为1500元的概率；
(2)若检测两次后还未结束，求检测总费用不超过2500元的概率；
(3)若检测的前三件产品中恰有一件次品，求检测总费用的分布列和期望．

4 . 情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等.
(1)若，，求的分布列；
(2)若，证明的数学期望与n无关；
(3)若，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由.

5 . 中国的农历七月初七被称为“七夕节”，象征着爱情与美好．某商场为了迎接“七夕节”的到来，特推出了购物抽奖活动．如图是由一个正方形与正三角形构成的图形，在点处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起．初始状态是点处的灯亮起，输入程序运行次数的上限，然后按下开始按钮，程序开始运行，下一次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，再下一次是与上一次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起．若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束．在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖．现顾客小王参与抽奖活动．

(1)若，求小王获奖的概率．
(2)若，记游戏结束时程序运行的次数为，求的分布列与期望．

6 . 在某次乒乓球比赛中，A组的甲、乙两人与组的丙、丁两人争夺进入决赛的资格，规则如下：每组的每一个人都要与另一组的两人各进行一局比赛并分出胜负，胜出至少三局，该组的两人才可以进入决赛．甲对丙时获胜的概率为0.6，对丁时获胜的概率为0.5；乙对丙时获胜的概率为0.8，对丁时获胜的概率为0.4．
(1)记为A组两人获胜的局数，求的分布列与数学期望．
(2)试比较A组两人与组两人，哪一组进入决赛的概率大，并说明理由．

7 . 中国女队在第19届亚运会上夺得女子围棋团体冠军，是中国第一次在亚运会上夺得围棋项目冠军现有甲、乙两人进行围棋比赛，规则如下：在前四局比赛中，每局比赛获胜者得50分，负者得0分，在第五局比赛中，获胜者得100分，负者得0分；当一方比另一方多100分时，比赛结束，多得100分者获胜．已知每局比赛中，甲获胜的概率为p（0<p<1），比赛没有平局，每局比赛的结果互不影响．
(1)当时，求比赛两局结束的概率．
(2)设X为比赛结束时的局数，求X的分布列与数学期望E（X）的最大值．

8 . 为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，得到了存储文件个数x与使用网盘存储空间y（单位：GB）的数据如下：

存储文件个数x	20	30	40	50	60
使用网盘存储空间y	1.5	2.5	4	6	8.5

(1)若y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的回归方程．
(2)使用网盘一年后，该老师整理资料时发现网盘中已经存入了150个不同的文件，现在手里有3个不同的文件，若其中有文件与已经存入的文件重复，则视为旧资料，直接删除所有重复的文件，将剩余未重复的文件存入网盘．若这3个文件中每个文件与已经存入的文件重复的概率均为，根据（1）的结论估计该老师整理完资料后，使用网盘存储空间的容量．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

9 . 第24届哈尔滨冰雪大世界于2023年12月17日至2024年2月15日开园，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人对其满意度进行调查并进行打分（分数均在），得到频率分布直方图如图所示，其中打分在的人数为18．

(1)求频率分布直方图中a，b的值；
(2)从样本中打分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，记这2人中恰有X人的打分在，求X的分布列与数学期望．

10 . 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ．