1 . 某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则__．

2 . 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球.
(1)当时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；
(2)商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于，求n的最大值.

3 . 2024年3月28日，小米SU7汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有个球，其中有4个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为1，2，3，，的纸盒内，其中第次取出的球放入编号为的纸盒．若编号为1，2，3，4的纸盒中有4个黑球，则获得优惠券10000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有3个黑球，则获得优惠券5000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有2个黑球，则获得优惠券1000元；其他情况不获得优惠券．
(1)已知，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率；
(2)设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：的期望小于．

4 . 绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.
(1)根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？
列联表

类别	树苗成活情况		合计
	成活	不成活
含元素
不含元素
合计

(2)从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差
参考公式：，
参考数据：                    

	0.10	0.05	0.010	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

5 . 盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.
(1)取两次，求恰好一红一白的概率；
(2)取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值；
(3)在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．

6 . 小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数.
(1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率；
(2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求.

7 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.

(1)直接写出时的分布列；
(2)证明：；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式.

8 . “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）
(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
(2)若拋郑一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）求证：．

9 . 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．
(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；
(2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：
方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．
方案二：从袋中进行有放回摸球次．
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理．

10 . 跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力．2023年暑假期间，某高中以2022年入学（以下称2022级）的学生为试点，倡议学生每天坚持不超过半小时的跳绳锻炼．开学后，对2022级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），得到如下数据：

人数	5	10	20	15	15	10	15	10
每周跳绳的累计时间（单位：小时）	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5
成绩区间（单位：个）	[90，100）	[120，130）	[140，150）	[170，180）	[170，180）	[160，170）	[180，190）	[190，200）

(1)请完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为“2022级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”；

	跳绳个数不少于170个	跳绳个数不足170个	合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
每周跳绳的累计时间不足2小时
合计

(2)将测试成绩位于区间之内评定为“良好”，位于区间 之内评定为“优秀”．在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：，其中．

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828