1 . 文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.市第一中学甲、乙、丙三位数学教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出.
(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；
(2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列.

2 . 某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？

3 . 甲、乙两箱各有6个大小相同的小球，其中甲箱2个红球，4个蓝球，乙箱3个红球，3个蓝球．先从甲箱随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱随机摸出1个球．
(1)从甲箱摸出的2个球至少有一个蓝球的概率；
(2)从乙箱摸出的小球是蓝球的概率．

4 . 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
(1)任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；
(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．

5 . 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天“得分不低于3分”的概率为，求为何值时，取得最大值，并求出该最大值．

6 . 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军. 这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕. 为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

	男	女	合计
喜爱	30		40
不喜爱		40	60
合计	50		100

(1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)从观众中任选一人，A表示事件“选中的观众为男性”，B表示事件“不喜欢篮球运动”. 与的比值是性别对运动热爱程度的一项度量指标，记该指标为R.
①证明：；
②利用男观众的数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值.
附：，其中.

	0.010	0.005	0.001
	6.635	7.879	10.828

7 . 2022年中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开之际，结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中继续开展党史学习教育．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加入员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望．
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少?
参考数据：，，，．

8 . 某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：

(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为，求的分布列及数学期望．

9 . 现有4名学生甲、乙、丙、丁参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不合格和合格两个等次，若考核为不合格，授予0分加分资格；若考核合格，授予10分加分资格.若甲、乙、丙、丁考核为合格的概率分别为，，，，他们考核是否合格互不影响.
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙、丁这4名学生考核都合格的概率；
(2)记X为在这次考核中甲、乙、丙、丁这4名学生所得加分之和，求X的分布列和数学期望.