1 . 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
参考数据：，，
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.

2 . 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

3 . 2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.

5 . 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、.记甲同学三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列.

7 . 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案.方案一：交纳延保金7000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保差10000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应选择哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：

维修次数	0	1	2	3
台数	5	10	20	15

将频率视为概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列；
(2)以方案一与方案二所需费用（所需延保金友维修费用之和）的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

8 . 在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖.某顾客从这张中任抽张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的分布列.

9 . 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.

10 . 某商店欲购进某种食品（保质期为两天），且该商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品是刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：

销售量(份)	15	16	17	18
天数	20	30	40	10

（1）根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为，求的分布列与数学期望；（视样本频率为概率）
（2）以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.