1 . 新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.
(1)求学生选科为“物理、化学和生物”的概率；
(2)若选科完毕后的某次考试中，甲同学首选科目及格的概率是 ，每门再选科目及格的概率都是 ，且各门课程及格与否相互独立.用X表示该同学所选的3门课程在这次考试中及格的门数，求随机变量X的分布列和数学期望

4 . 李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.
(1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；
(2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.

5 . 甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率；
(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．

6 . 一种微生物可以经过自身繁殖不断生存下来，繁殖后自身即消亡.设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，且，，成公差为的等差数列.
(1)求，，；
(2)设表示1个微生物个体在第2代的个数，求随机变量的分布列和数学期望.

7 . 2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.

(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.

（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；

（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：，则，，.

8 . 水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质.某水果批发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．
(1)现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个的概率；
(2)现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取2个，设X为坏果的个数，求X的分布列及期望．

9 . 一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．
(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.

10 . 为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表：

	购买新能源汽车（人数）	购买传统燃油车（人数）
男性
女性

(1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题：
（i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；
（ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车?
附：

	0.1	0.025	0.005
	2.706	5.024	7.879