名校
解题方法
1 . 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
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2022-06-02更新
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1016次组卷
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7卷引用：北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：概率与统计
2 . 自武汉爆发新型冠状病毒感染的肺炎疫情以来，无数科研工作者投身于这场疫情防控战.从病毒溯源到药物研发，已产出的科研成果或将促使人们尽快打赢这场遭遇战.为治疗该种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求
的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，
表示“甲药的累计得分为
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．证明：
为等比数列.
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求
的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．证明：为等比数列.
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解题方法
3 . 某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与激励．现假设台阶标有第0，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进行登攀台阶游戏，这位同学开始时位于第0级，若掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，若掷出奇数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级（成功）或第50级（失败），游戏结束．设
为登攀至第n级的步数
，这位同学登到第n级的概率为
．
（I）求
的分布列与数学期望；
（Ⅱ）证明：
为等比数列．
为登攀至第n级的步数，这位同学登到第n级的概率为．（I）求
的分布列与数学期望；（Ⅱ）证明：
为等比数列．
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名校
4 . 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．
（1）公司内部测试的活动方案设置了第
次抽奖中奖的名额为
，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．
①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?
②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为
，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行
次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这
次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于
．
（1）公司内部测试的活动方案设置了第
次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?
②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第
次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于．
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2020-10-18更新
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3112次组卷
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9卷引用：湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(二)数学试题广东省实验中学2021届高三上学期第二次阶段性测试数学试题广东省实验中学2021届高三上学期11月阶段测试数学试题山东省淄博市淄博实验中学2020-2021学年高三上学期第二次模块考试数学试题（已下线）专题10-2 概率压轴大题(理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）模块八 专题10 以概率与统计为背景的压轴大题广东省广州市2023届高三冲刺训练（三）数学试题广东省广州市培正中学2023届高三四模数学试题江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题
名校
解题方法
5 . 某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）.
（1）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”.已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（2）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在和的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在的学生人数，求X的分布列：
（3）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在，三组中，其中a，b，
.当数据a，b，c的方差
最小时，写出a，b，c的值.（结论不要求证明）
（注：
，其中
为数据
，
，…，
的平均数）
，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）.（1）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”.已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（2）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在
和的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在的学生人数，求X的分布列：（3）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在
，三组中，其中a，b，.当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值.（结论不要求证明）（注：
，其中为数据，，…，的平均数）
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名校
6 . 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“
”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于
的点位的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）
”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于
的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）
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2020-06-03更新
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580次组卷
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3卷引用：2020届北京市东城区高三一模考试数学试题
7 . 棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明：
；
（3）求P99，P100的值．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明：
；（3）求P99，P100的值．
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2020-08-28更新
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1189次组卷
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9卷引用：2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学（理）试题
2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学（理）试题2020届湖北省部分重点中学高三上学期期末联考理科数学试题2020届河北省衡水市武邑中学高三上学期期末数学（理）试题（已下线）专题09 数列与离散型随机变量相结合问题（第四篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖2020届江苏省连云港市六所四星高中(海州高中、赣榆高中、海头中学、东海高中、新海高中、灌云高中)高三下学期模拟考试数学试题江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模数学试题（已下线）【理科附加】专题05 随机变量及其分布-2020年高考数学母题题源解密（江苏专版）河北省石家庄正中实验中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题（已下线）专题11-2 概率与分布列大题归类-1
名校
解题方法
8 . 2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取
个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求
的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取
个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
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2020-04-06更新
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2178次组卷
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14卷引用：2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题
2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）数学试题2020届宁夏石嘴山市高三4月二模数学（理）试题（已下线）专题10 概率与统计-2020年高三数学（理）3-4月模拟试题汇编（已下线）第二章随机变量及其分步单元测试(基础版). 突破满分数学之2019-2020学年高二数学(理)课时训练(人教A版选修2-3)（已下线）第三章统计案例单元测试(巅峰版) -突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试数学（理）试题北京市十一学校2021届高三12月月考数学试题（已下线）专题12 概率与统计的综合应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）北京师大附中2020-2021学年高二上学期期末试题（已下线）专题46 随机变量及其分布-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】北京市中国人民大学附属中学2022届高三2月自主复习检测练习（开学测）数学试题北京市海淀实验中学2023届高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为
，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第
号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第
号同学继续挑战；
④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第
轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.
令随机变量
表示n名挑战者在第
轮结束.
（1）求随机变量
的分布列；
（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.
令随机变量
表示n名挑战者在第
轮结束.
（ⅰ）求随机变量
的分布列；
（ⅱ）证明
.
，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第
号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；④若第
号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；⑤若挑战进行到了第
轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.令随机变量
表示n名挑战者在第轮结束.（1）求随机变量
的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.
令随机变量
表示n名挑战者在第轮结束.（ⅰ）求随机变量
的分布列；（ⅱ）证明
.
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2020-08-06更新
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3064次组卷
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9卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟试卷(二)数学(理)试题
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟试卷(二)数学(理)试题湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学（理科）模拟试题（一）（a卷）重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题浙江省杭州市桐庐中学2022-2023学年新高三暑期阶段性测试数学试题（已下线）模块十 计数原理与统计概率-2（已下线）专题26 概率综合问题（分布列）（解答题）（理科）-1（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-2山东省济南市山东省实验中学2024届高三5月针对性考试（二模）数学试题湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二下学期6月考数学试题
解题方法
10 . 某景点共有999级台阶，寓意长长久久.游客甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，无其它可能.若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率也为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第个台阶的概率为，其中
，且
.
（1）甲走3步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：当，且
时，数列
是等比数列，并求甲登上第100级台阶的概率
.
，每步上两个台阶的概率也为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且.（1）甲走3步时所得分数为
，求的分布列和数学期望；（2）证明：当
，且时，数列是等比数列，并求甲登上第100级台阶的概率.
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