2 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．

4 . 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.
(1)当，时，求条件概率；
(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值；
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.

5 . 用n个不同的元素组成m个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作例如，用1，2，3，4这4个元素组成2个非空集合共有7种方案，即；；；；；；．于是．
(1)求和：；
(2)证明：当时，；
(3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办，打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办（款式随机，且获得每种款式的概率都相同）
①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p；
②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X，求X的数学期望．

6 . 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求的分布列及期望；
(2)证明：是等差数列.

7 . 现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为，求的数学期望，并证明：.

8 . 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：

甲生产线 产品序号	1		2		3		4		5		6		7		8		9	10
指标	0.98		0.96		1.07		1.02		1.00		0.93		0.92		0.96		1.11	1.02
指标	2.01		1.97		1.96		2.03		2.03		1.98		1.95		1.99		2.07	2.02
乙生产线 产品序号		1		2		3		4		5		6		7		8
指标		1.02		0.97		0.95		0.94		1.13		0.98		0.97		1.01
指标		2.01		2.03		2.15		1.93		2.01		2.02		2.19		2.04

假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其指标大于1且指标大于2的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
(3)已知产品指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）

9 . 设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）

10 . 掷一枚质地均匀的骰子，得分规则如下：若出现的点数为1，则得1分；若出现的点数为2或3，则得2分；若出现的点数为4或5或6，则得3分．
(1)记为连续掷这枚骰子2次的总得分，求的数学期望；
(2)现在将得分规则变更如下：若出现的点数为1或2，则得2分，其他情况都得1分．反复掷这枚骰子，设总得分为的概率为，证明：数列为等比数列．