1 . 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为.
(1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的，
①当时，求；
②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值；
(2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值.

2 . 下列命题中错误的是（       ）

A．已知随机变量，则

B．已知随机变量，若函数为偶函数，则

C．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8

D．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为

3 . 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到．
(1)根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；
(2)求被抽样调查的总人数，并依据小概率值的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；
(3)用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为，求随机变量的方差．
附：

a	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

4 . 下列命题正确的是（       ）

A．“事件与事件相互独立”是“事件与事件相互独立”的充要条件

B．样本空间中的事件与，“”是“事件与事件对立”的必要条件

C．已知随机变量，若，则

D．已知随机变量，且函数为偶函数，则

5 . 若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.
(1)求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；
(2)若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.

6 . 已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（       ）

A．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为

B．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为

C．每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为

D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是

7 . 已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（       ）

A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5	B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1	D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为

8 . 为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，在一个不透明的盒子中装有个质地均匀且大小相同的小球，其中个红球，个白球，个黑球，搅拌均匀.每次抽奖都从箱中随机摸出个球，若摸出的是全是红球，则获元的返金券.
（1）设顾客抽奖次摸出白球的个数为，求的分布列和数学期望；
（2）若某顾客有次抽奖机会，设顾客抽取次后最终可能获得的返金券的金额为，求的方差.