1 . 莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.

(1)求的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.

2 . 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程．
(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点，法向量为的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由）
(2)设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程．

3 . 设函数对任意实数、都有   .
(1)求的值；
(2)若，求、、的值；
(3)在（2）的条件下，猜想（为正整数）的表达式，并证明.

5 . 已知数列满足
(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式

6 . 设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

7 . 如图，在圆内画1条线段，将圆分割成两部分；画2条相交线段，彼此分割成4条线段，将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么

(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?
(2)猜想：圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成多少条线段?
(3)猜想：在圆内画条线段，两两相交，将圆最多分割成多少部分?

8 . 观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．

9 . 如图，在平面几何里有射影定理：设的两边，是点在边上的射影，则．拓展到空间，在四面体中，平面，点是在平面内的射影，且在内，类比平面三角形的射影定理，，，三者面积，，之间有什么关系？请写出你得到的结论，并证明．

10 . 已知，，通过观察等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．