解题方法
1 . 设点从格点出发,沿格径以最短的路线运动到点,即每次运动到另一格点时,横坐标或纵坐标增加1.设点经过的所有格点中两坐标乘积之和为.
(1)当时,点沿格径以最短的路线运动到点的方案有多少种?
(2)当时,求的最大值;
(3)当点从格点出发,沿格径以最短的路线运动到点且,求的最大值.(参考公式:)
(1)当时,点沿格径以最短的路线运动到点的方案有多少种?
(2)当时,求的最大值;
(3)当点从格点出发,沿格径以最短的路线运动到点且,求的最大值.(参考公式:)
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解题方法
2 . 某箱中有个除颜色之外均相同的球,已知.箱中1个球为白球,其余为黑球.现在该箱中进行一取球实验:每次从箱中等可能地取出一个球,若取出白球或取球次后结束实验,否则进行相应操作进行下一次取球.设实验结束时的取球次数为.
(1)若取出黑球后放回箱中,求的数学期望;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中,求的最大值,并证明:.
(1)若取出黑球后放回箱中,求的数学期望;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中,求的最大值,并证明:.
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3 . 约数,又称因数,它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.
设正整数有个正约数,即为.
(1)当时,是否存在构成等比数列,若存在,请写出至少3个满足条件的正整数的值,若不存在,请说明理由;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)当时,若是的所有正约数的一个排列,那么,是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列?并证明你的结论.
设正整数有个正约数,即为.
(1)当时,是否存在构成等比数列,若存在,请写出至少3个满足条件的正整数的值,若不存在,请说明理由;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)当时,若是的所有正约数的一个排列,那么,是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列?并证明你的结论.
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4 . 设是由个非负整数组成的行列的数表,记,,,,设,,…,的平均数为,若,则称数表为“阶数表”.
(1)判断如下两个数表是否为“4阶H数表”;说明理由;
,
(2)证明:对于一个给定的正整数,不存在“阶数表”,使得对任意的,都成立;
(3)对任意的“阶数表”,是否存在,,满足,使得?说明理由.
(1)判断如下两个数表是否为“4阶H数表”;说明理由;
,
(2)证明:对于一个给定的正整数,不存在“阶数表”,使得对任意的,都成立;
(3)对任意的“阶数表”,是否存在,,满足,使得?说明理由.
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5 . 把正整数1,2,3,…,n按任意顺序排成一行,得到数列,称数列为1,2,3,…,n的生成数列.
(1)若是1,2,3,…,8的生成数列,记,数列所有项的和为S,求S所有可能取值的和;
(2)若是1,2,3,…,10的生成数列,记,若数列中的最小项为T.
①证明:;
②求T的最大值.
(1)若是1,2,3,…,8的生成数列,记,数列所有项的和为S,求S所有可能取值的和;
(2)若是1,2,3,…,10的生成数列,记,若数列中的最小项为T.
①证明:;
②求T的最大值.
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6 . 已知为有穷整数数列,若满足:,其中,是两个给定的不同非零整数,且,则称具有性质.
(1)若,,那么是否存在具有性质的?若存在,写出一个这样的;若不存在,请说明理由;
(2)若,,且具有性质,求证:中必有两项相同;
(3)若,求证:存在正整数,使得对任意具有性质的,都有中任意两项均不相同.
(1)若,,那么是否存在具有性质的?若存在,写出一个这样的;若不存在,请说明理由;
(2)若,,且具有性质,求证:中必有两项相同;
(3)若,求证:存在正整数,使得对任意具有性质的,都有中任意两项均不相同.
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7 . 定义两个维向量,的数量积,,记为的第k个分量(且).如三维向量,其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件:①集合中含有n个n维向量作为元素;②集合中每个元素的所有分量取0或1;③集合中任意两个元素,,满足(T为常数)且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集;
(2)判断是否存在完美4维向量集,并说明理由;
(3)若存在A为T的完美n维向量集,求证:A的所有元素的第k分量和.
(1)求2的完美3维向量集;
(2)判断是否存在完美4维向量集,并说明理由;
(3)若存在A为T的完美n维向量集,求证:A的所有元素的第k分量和.
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2024-03-27更新
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891次组卷
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4卷引用:2024届江西省九江市二模数学试题
2024届江西省九江市二模数学试题广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高三下学期第二学月质检数学试题(已下线)拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题(四大题型)(已下线)专题7 线性代数、抽象代数与数论背景的新定义压轴大题(过关集训)
8 . 设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为,第列的总和为,.求的最大值(答案用含的式子表示).
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9 . 正整数称为“好数”,如果对任意不同于的正整数,均有,这里,表示实数的小数部分.证明:存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
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