1 . 把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列
，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
(1)若是1，2，3，…，8的生成数列，记
，数列
所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
(2)若是1，2，3，…，10的生成数列，记
，若数列中的最小项为T．
①证明：
；
②求T的最大值．
，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．(1)若
是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；(2)若
是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．①证明：
；②求T的最大值．
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2 . 已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为
，求证
，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知
，写出所有的，使得；(2)已知
，若，并且，求的最大值；(3)设集合
中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证
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3 . 已知向量
，其中
是两两不相等的正整数．记
，
，其分量之间满足递推关系
，
，
，
，
．
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：不存在
，使得中
；
(3)证明：存在
，当
时，向量满足
．
，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系，，，，．(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：不存在
，使得中；(3)证明：存在
，当时，向量满足．
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4 . 已知
为有穷整数数列，若
满足：
，其中
，
是两个给定的不同非零整数，且
，则称具有性质
.
(1)若
，
，那么是否存在具有性质的
？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且
具有性质，求证：
中必有两项相同；
(3)若
，求证：存在正整数
，使得对任意具有性质的
，都有
中任意两项均不相同.
为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.(1)若
，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；(2)若
，，且具有性质，求证：中必有两项相同；(3)若
，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
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5 . 定义两个
维向量
，
的数量积
，
，记
为
的第k个分量（
且
）.如三维向量
，其中
的第2分量
.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，
，满足
（T为常数）且
.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
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2024-04-23更新
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653次组卷
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2卷引用：2024届江西省九江市二模数学试题
名校
6 . 已知是无穷数列，
，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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7 . 已知：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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493次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
8 . 对于定义在
上的函数
如果同时满足以下三个条件：①
；②对任意
成立；③当
时，总有
成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：
命题
：若为“理想函数”，则对任意
，都有
；
命题
：若为“理想函数”，则对任意
，都有
成立.
则下列说法正确的是（ ）
上的函数如果同时满足以下三个条件：①；②对任意成立；③当时，总有成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有；命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.则下列说法正确的是（ ）
| A．命题､命题都是真命题 |
| B．命题为真命题，命题为假命题 |
| C．命题为假命题，命题为真命题 |
| D．命题､命题都是假命题 |
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9 . 设
.在
的方格表的每个小方格中填入区间
中的一个实数.设第
行的总和为
，第列的总和为
，
.求
的最大值（答案用含
的式子表示）.
.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）.
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，均有
，这里，
表示实数
的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
